Question

过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与抛物线相交于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程

过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与抛物线相交于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程？

Answer 1

解：由抛物线的标准方程：y^2=2px 且其焦点坐标为：F（p/2,0)得出y^2=4x的焦点坐标为（1,0）；当过焦点的直线垂直于x轴时，AB中点坐标为（1,0）。当过焦点的直线不垂直与x轴时，设直线的斜率为k，肯显然k不等于0，则直线方程为y=k（x-1）……（1）；把方程（1）带入抛物线方程y^2=4x得：(kx)^2-(2k^2+4)x+k^2=0……（2）；有二次方程根与系数的关系(韦达定理)及中点坐标公式知：线段AB中点的横向坐标为：x0=[（2k^2+4）/k^2]/2=(k^2+2)/k^2……（3）；把（3）式代入方程（1）得y0=2/k；由中点坐标可得出中点的轨迹方程为：x=(k^2+2)/k^2=1+2/k^2=1+[(2/k)^2]/2=1+y/2，即y=2x-2;可知（1,0）满足中点轨迹方程，则弦AB的中点轨迹为y=2x-2。

Answer 2

设AB的中点为O(x,y);A(x1,y1),B(x2,y2);
∵直线过抛物线y^2=4x得焦点,而焦点F(1,0)
∴设直线的方程为：y=k(x-1) .........................(1)
将(1)^2代入抛物线方程中可得：
k^2(x-1)^2=4x =>k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
∴x1+x2=(2k^2+4)/k^2
∵y1+y2=k(x1+x2-2)=4/k ..............................(2)
又
∵x=(x1+x2)/2=(k^2+2)/k^2=(2+(2/k^2)).................（3）
y=(y1+y2)/2=2/k =>2/k^2=y^2/2.........................(4)
∴将（4）代入（3）可得：
x=(2+(y^2/2)) =>y^2=2x-4

所以 AB的中心轨迹方程为：y^2=2x-4