Question

一道数学题，关于圆和直线，要过程

请不要先猜后证，要规范的像大题一样，会提高悬赏_(:з」∠)_

Answer 1

手写拍图传不上去。只好回答如下：

y = x^2-2x+m = (x-1)^2+m-1,  对称轴 x = 1，C(0, m).

M 在 AB 的垂直平分线上， 则在直线 x = 1 上， (1) 正确，排除选项 C。

y = x^2-2x+m 与 x 轴交于不同两点， 则 x^2-2x+m = 0 有 2 个不同实根，

△ = 4-4m > 0,  m < 1,  但 m 可以是负数，故 (2) 错误。排除选项 A, C。

如果 m = 0， A，C 两点重合于原点O， 此时圆 M 半径取最小值 1，

但 m ≠ 0 ，圆 M 半径大于 1 ， 故 (3) 错误，排除选项 B。故选 D。

事实上，x^2-2x+m = 0 得 A(1-√(1-m), 0),  B(1+√(1-m), 0),  设 M(1, h),

由 |MC|^2 = |MB|^2,  1+(m-h)^2 = 1-m+h^2, 又 m ≠ 0 ，得 h = (1+m)/2,

M(1, (1+m)/2), 圆 M 方程 (x-1)^2 + [y-(1+m)/2]^2 = 1+[(1-m)/2]^2,

即 x(x-2)+(y-1)(y-m) = 0,  过固定点 N(0, 1),  也过固定点 N1(2, 1)。故(4) 正确。

Answer 2

解，①，A，B关于X=1对称，则圆心在x=1上
② 4-4m>0，则m<1
③，r≥1，圆心在x=1，而C在x=0上
B(1+√4-4m，0)当圆心O(1，m)，BO=1
(4-4m)+m^2=1，m^2-4m+3=0，m=1或3
不存在，则③错
④，求圆心(1，k)，k为于m的代数式
写出圆方程。
选(A)

Answer 3

解，两根不相等，则1-m>0则m<1。
m=0，A，C重合，则m≠0，则m<1且m≠0
AB的中垂线为x=1，问圆心在X=1上。
设圆心为P(1，p)
则R=pA=pC则(1-m)+p^2=1+(P-m)^2
则p=(m+1)/2，则R^2=(m-1)^2/4+1>1
圆的方程为(ⅹ-1)^2+(y-(m+1)/2)^2=(m-1)^2/4+1
过(0，1)定点。
选(D)，①④正确。

Answer 4

解，x^2-2x+m=(x-1)^2+m-1
m-1>0(①)对
A，B的中垂线为x=1则②对，
③，C(0，m)A(1-√(1-m)，0)B(1+√(1-m)，0)
当O(1，m)时，OB=m^2+1-m=1
则m=0或m=1，A，C重合，圆心为(0，0)正确
选(①②③)

Answer 5

解，圆心O(1，k)则1+(k-m)^2=k^2+(1-m)
即，-2mk+m^2=-m，k=m/2+1/2(m≠0)
R^2=m^2/4-m/2+5/4
=(m/2-1/2)^2+1>1
当，m=0，A，C重合。
圆的方程(x-1)^2+(y-m/2-1/2)^2=(m/2-1/2)^2+1
过(0，1)，
①正确，m<1，且m≠0，则②错
③r>1错。
选①④