Question

已知函数f（x）=（1／3^X+1)+a为奇函数，则常数a= 已知f（x）=（2／3^X-1）+m是奇函数，则常数m=

两道题的解法，及两道题的解法上的不同

Answer 1

首先判断定义域，如果其中有0，则函数在x=0时的函数值为0，即f(0)=0 。
然后看看用f(0)=0能否求出其中的未知常数，如果能，再用奇函数的定义验证就可以了。

1）定义域R。由f(0)=0 得 a=-1/2 。
当 a=-1/2 时，f(x)=1/(3^x+1)-1/2=(1-3^x)/[2(1+3^x)]，
f(-x)=[1-3^(-x)]/{2[1+3^(-x)]}=(3^x-1)/[2(3^x+1)]=-f(x)，所以函数为奇函数。
因此 a=-1/2 。

如果定义域中没有数0，也可以取特殊值，先求出其中未知常数，然后用定义验证。
2）定义域R-{0} 。取 x=1 和 x=-1 ，并令 2/2+m=-[2/(-2/3)+m] ，
解得 m=1 。
当 m=1 时，f(x)=2/(3^x-1)+1=(3^x+1)/(3^x-1)，
f(-x)=[3^(-x)+1]/[3^(-x)-1]=(3^x+1)/(1-3^x)=-f(x)，所以函数为奇函数。
因此，m=1 。