Question

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的重点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为？

Answer 1

设O是AC的中点，在正三棱柱ABC-A1B1C1中棱长都相等，D是A1C1的中点，
∴OD⊥平面ABC,OB⊥AC,
以OA,OB,OD为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设A(1，0，0),
则C(-1，0，0),B(0，√3，0),D(0,0,2),B1(0,√3,2).
向量AD=(-1，0,2),B1D=(0，-√3，0),CD=(1,0,2),
设平面B1DC的法向量m=(n,p,1),
则m*B!D=-√3p=0,p=0,m*CD=n+2=0,n=-2,
∴m=(-2,0,1),|m|=√5=|AD|，m*AD=2+2=4,
cos<m,AD>=m*AD/(|m||AD|)=4/5,
∴AD与平面B1DC所成角的正弦值=4/5.