Question

已知定义在R上的函数f(x)=2的x次方/4的x次方+1

1.判断f(x)的奇偶性
2.证明f(x)在(0,1)上是减函数
3.若方程f(x)=m在(-1,1)上有解,求m的取值范围

Answer 1

1)f(x)=2^x/(4^x+1)
f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+1]=2^x/[1+4^x]=f(x)
因此为偶函数
2)令t=2^x>0, 为减函数
在（0，1）上，1<t<2
f(x)=t/(t^2+1)=1/(t+1/t)
在（1，2）上，t+1/t为增函数
因此f(x)为减函数
3)在（-1,1)上， 1/2=<t<=2
2=<t+1/t<=5/2
因此2/5=<1/(t+1/t)<=1/2
即m的取值范围是[2/5, 1/2]