Question

已知函数f(x)=4sinxcos（x+π/3)+根号3 （1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和单调

（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和单调递增区间
（2）若x∈[-π/3,π/4]求函数f（x）的最大值和最小值

Answer 1

已知函数f(x)=4sinxcos（x+π/3)+√3 ；（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若x∈[-π/3,π/4]求函数f（x）的最大值和最小值。
解：(1) f(x)=4sinxcos(x+π/3)+√3=2[sin(-π/3)+sin(2x+π/3)]+√3=2sin(2x+π/3)
故最小正周期T=2π/2=π；单增区间：由-π/2+2kπ≦2x+π/3≦π/2+2kπ，
得-5π/6+2kπ≦2x≦π/6+2kπ，故单增区间为-5π/12+kπ≦x≦π/12+kπ，k∈Z.
(2).在区间[-π/3,π/4]内，当x=π/12时，f(π/12)=2sin(π/6+π/3)=2sin(π/2)=2是其最大值；
当x=-π/3时，f(-π/3)=2sin(-2π/3+π/30=2sin(-π/3)=-2sin(π/3)=-√3是其最小值。

Answer 2

f(x)=4sinxcos（x+π/3)+根号3
=4sinx(1/2cosx-√3/2sinx)+√3
=2sinxcosx-2√3sin²x+√3
=sin2x-2√3sin²x+√3(sin²x+cos²x)
=sin2x+√3cos²x-√3sin²x
=sin2x+√3(cos²x-sin²x)
=sin2x+√3con2x
=2sin(2x+π/3)
（1）最小正周期T=2π/2=π
-π/2+2Kπ≤2x+π/3≤π/2+2Kπ
解得x∈[-5π/12+kπ，π/12+kπ]，k∈{0,1,2。。。}
(2)x∈[-π/3,π/4] 则2x+π/3∈[-π/3，5π/6]
由图像知在2x+π/3=-π/3时取得最小值=-√3
2x+π/3=π/2取得最大值=2

Answer 3

f(x)=4sinxcos（x+π/3)+√3=4sinx(1/2cosx-√3sinx)+√3=2sinxcosx-2√3sin²x+√3
=sin2x+√3﹙1-2sin²x)=sin2x+√3cos2x＝2（1/2sin2X+√3/2cos2X）
=2(cosπ/3sin2x+sinπ/3cos2x)
=2sin(2x+π/3)
即f(x)=2sin(2x+π/3)
主要是化简吧，后面自己算算