Question

已知函数f(x)=a^x+(x-2)/(x+1) (a>1) 用定义法证明函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性

求详细过程

Answer 1

【函数f(x)在(-1,+∞)上的单调递增】

证明：设x2＞x1＞-1，则：
f(x2)-f(x1)=[a^(x2)+(x2-2)/(x2+1)]- [a^(x1)+(x1-2)/(x1+1)]
=[a^(x2)- a^(x1)]+3[1/(x1+1)-1/(x2+1)]
=[a^(x2)- a^(x1)]+3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]

∵a＞1，x2＞x1
∴a^(x2)- a^(x1)＞0
又∵x2＞x1＞-1
∴3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]＞0

∴f(x2)-f(x1)=[a^(x2)- a^(x1)]+3(x2-x1)/[(x1+1)/(x2+1)]＞0
即：函数f(x)在(-1,+∞)上的单调递增
得证
希望能帮到你~

追问

但是最后化简的结果应该是一个完整的分式吧

追答

不用啊~
到这一步已经可以明显的看出来了，为什么还要化成一个分式呢？
虽然有一些题是化成分式，但是我们追求的是结果，过程当然是采用最简单的方式啦

Answer 2

令-1<x1<x2
f(x1)-f(x2)=(a^x1 - a^x2)+[(x1 - 2)/(x1 + 1) - (x2 - 2)/(x2 + 1)]
=(a^x1 - a^x2) + 3(x1 - x2)/[(x1 + 1)(x2 + 1)]
因为指数函数a^x单增（a>1），故(a^x1 - a^x2)<0,
且-1<x1<x2，所以(x1 + 1)(x2 + 1) >0,x1 - x2<0,故(x1 - x2)/[(x1 + 1)(x2 + 1)]<0
所以f(x1)<f(x2)
故f(x)在(-1,+∞)上单增

追问

但是最后化简的结果应该是一个完整的分式吧

Answer 3

设x1<x2，f(x1)-f(x2)=a^x1+(x1-2)/(x1+1)-a^x2-(x2-2)/(x2+1)=a^x1[1-a^（x2-x1）]+3（x1-x2）/(x1+1)/(x2+1)
a>1，-1<x1<x2，所以a^x1>0，1-a^（x2-x1）<0，3（x1-x2）/(x1+1)/(x2+1)<0
所以f(x1)-f(x2)<0，函数f(x)在(-1,+∞)上的单调递增。

追问

但是最后化简的结果应该是一个完整的分式吧

追答

定义法求的时候只要你能确定f(x1)与f(x2)之间的大小就可以了。你可以把f(x1)-f(x2)的结果分成n个模块各个计算，只要每个模块都大于、等于或小于0你就可以得出最终的单调关系。
化成一个完整的分式是很理想的状况，一般题目中你化成了一个分式反而无法比较。化成分式就是为了确定分子分母与0的关系，从而确定f(x1)与f(x2)的大小关系。