Question

已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根恰好比x²+ax+b=0的两根大1，求a＋b

＋c的值

Answer 1

由方程x²+cx+a=0的两个根恰好比 x²+ax +b=0的两个根大1可知 ，
方程（x+1）²+c（x+1）+a=0与方程 x²+ax +b=0的根一样，所以（x+1）²+c（x+1）+a=x²+ax +b，
得：c=a-2，b=2a-1.
问题转化为：方程x²+（a-2)x+a=0的两个根恰好比 x²+ax +(2a-1)=0的两个根大1且都为整数.
考查第一个方程：两个根都为整数，而两根之积为a，所以a是一个整数。
根的判别式△=（a-2)²-4a=a²-8a+4=(a-4)²-12，这个数必须是一个平方数。
又因为(a-4)²也是一个平方数，而两个平方数相差12的只有16和4，故(a-4)²=16，a=0或8.
当a=0时，b=-1，c=-2，第一个方程两根为0、2,第二个方程两根为-1,1。a+b+c=-3；
当a=8时，b=15，c=6，第一个方程两根为-2、-4,第二个方程两根为-3,-5。a+b+c=29；
希望对你有所帮助!