Question

已知关于X的一元二次方程x�0�5+cx+a=0的两个整数根恰好比方程X�0�5+ax+b=0的两个根都大一，求a+b+c的值

Answer 1

设方程x2+ax+b=0 的两个根是x1,x2 x1+x2=-a x1x2=b
方程x2+cx+a=0 的两个是x1+1,x2+1 x1+1+x2+1=-c x1x2+x1+x2+1=a
-a+2=-c b-a+1=a
a-c=2 b-2a=-1
二次方程x2+cx+a=0 的两个根为整数
所以△=c�0�5-4a是个正数的平方
△=c�0�5-4a=(a-4)�0�5-12
满足条件的只有(a-4)�0�5-12=4时成立
这时a=0或者a=8
当a=0时,b=-1,c=-2
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为2和0
x2+ax+b=0 的两个整数根为1和1
不合题意
当a=8时,b=15,c=11
这时x2+cx+a=0 的两个整数根为-2和-4
x2+ax+b=0 的两个整数根为-3和-5
符合题意
a+b+c=8+15+6=29
所以a+b+c 的值 29

Answer 2

韦达定理 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中

设两个根为x和y

则x+y=-b/a

xy=c/a

设关于X的一元二次方程x�0�5+cx+a=0 两根为X,Y X�0�5+ax+b=0两根为A,B 则由韦达定理知 X+Y=-c A+B=-a XY=a AB=b 由题意知道X=A+1 Y=B+1 所以 X+Y-（ A+B）=2 a-c=2 XY-AB=XY-（X-1)(Y-1)= X+Y-1 所以a-b=-c-1 所以c=a-2 b=2a-1 代入原方程得 x�0�5+（a-2) x+a=0 X�0�5+ax+（2a-1)=0 由于方程的根是整数，所以判别式应为完全平方数，所以 （a-2)^2-4a=(a-4)^2-12 为平方数 设(a-4)^2-12=t^2 则（a-4-t)(a-4+t)=12 由于两式奇偶同性（即同是奇数或同是偶数）所以 1。 a-4-t=2 a-4+t=6 2。a-4-t =-2 a-4+t=-6 应为另外两种情况与1.2结果一样，所以不考虑， 1。a-4-t+（a-4-t ）=2a-8=8 所以a=8 所以c=6 b=15 a+b+c=29 2.a-4-t+（a-4-t ）=2a-8=-8 a=0 c=-2 b=-1 a+b+c=-3 对不起，啰嗦了