Question

导数与函数问题求解！

已知函数f(x)=lnx-ax^2-bx
（1）当a=-1时，若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围
（2）若f(x)的图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)两点，且AB的重点为C(x0,0)，求证：f'(x0)<0
P.S. 第一小题可以不回答，我会做的，关键是第二题，注意是导数小于0，跪求高手解答，会追加得分！！！
是AB的中点……不是重点……刚刚打错……

Answer 1

解答：
（1） 由题意得：f(x)=lnx-ax^2-bx 在(0,+∝)上递增 则f`(X)=1/x+2x-b≥0对x∈
(0,+∝)恒成立 即 b≤1/x+2x对x∈
(0,+∝)恒成立 只需b≤（1/x+2x）min
∵x>0 1/x+2x≥2√2 ∴当且仅当x=√2/2时取“=”
∴b≤2√2 ∴ 的取值范围为（-∝，2√2）
（2）由已知得f(x1)=lnx1-ax1^2-bx1+0
f(x2)=lnx2-ax2^2-bx2=0
两式相减 联立可得：ln(x1/x2)=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)
即：ln(x1/x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)=b]
由f`(X)=1/x+2ax-b 及2x0=x1+x2
得：f`(X0)=1/x0-2ax0-b=2/(x1+x2)-[a(x1+x2)+b]=2/(x1+x2)-1/(x1-x2)*ln(x1/x2)
=1/(x1-x2){2(x1-x2)/(x1+x2)-ln(x1/x2)}=1/(x1-x2){[2*(x1/x2-1)]/(x1/x2+1)-ln(x1/x2)}
令t=x1/x2∈(0,+∝) 且ψ(t)=(2t-2)/(t+1)-lnt(0<t<1) 则ψ`(t)=-[(t-1)^2/t(t+1)^2<0
∴ψ(t)在（0,1）上为减函数 ∴ψ(t)>ψ(1)=0
∵x1<x2 ∴f`(x0)<0

希望你能看懂