Question

几个关于导数定义的问题，跪求高手详细解答！！！（有点繁琐，恳请耐心帮忙下！）

导数定义中的：如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0. ① 我的理解：这里的△X→0，△y/△x有极限，即是最大值，但是这里△y=f(x0+△x)-f(x0),当△x→0，△y不也变小了吗，怎么会有最大值？
如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.这句话中，有这样一句：则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率。出现导数一词
由于“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数.这句话中又出现导数一词。②这段话中的“导数”这个词和前那段话的相同吗？
函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[[x0，f（x0）] 点的切线斜率。（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）.③　这段话中　：说的切线斜率是不是在这点△x→0，△y/△x，如果是。那么相切的时候这个点不就没有△y/△x可言了吗，都是0.
以上的①②③是我针对导数各定义的问题，请帮我详细解答，能带图说明最好，我的理解那里错了，请帮我讲解。谢谢！！！！
谢谢。强调：详细解答！！！

Answer 1

首先质疑精神值得激赏第一个问题分子分母的变化率不同肯定是有值的，比的是变化率当变化率相同时值为1，你可以参看无穷小的比较。
第二个我认为是相同的这对于理解无影响
我想这第三个问题与第一个相同只是变成了图像的变化率了
最后提醒这些对做题其实并无帮助，你若想考研还是跳过吧

Answer 2

你最好去翻翻极限的定义。

追问

翻了N次

追答

①你说的是对的，但是要看怎样变化，就好像5/4和4/2，都是变小，但是后面那个还大些。
②不是很相同，前面的导数是一个具体的点的导数，后面的导函数是所有点的导数的集合。
③因为如果真的相切的话，是无法求出来的，这就跟极限的定义有关，极限是趋向于一个固定的数值，就好像√2趋向于1.414……，0.999……趋向于1一样，但是永远无法取到，这个就是极限，导数就是这样的。
举个例子：函数y=2x，x＜5，那么在x=5时取多少呢，在定义域内，无法取到5，但是我们可以知道，越趋近5，函数值越趋近10，那么就称10是极限。

追问

导函数与△y/△x极限有什么联系？

追答

在函数上一个点的导数是lim△y0/△x0，所有点的导数构成一个集合，这个就是导函数，可以用普遍性的lim△y/△x表示