Question

y² x²×dy╱dx=xy×dy╱dx的通解？

Answer 1

求微分方程 y²+x²y'=xyy'的通解；
解：两边同除以x²得：(y/x)²=[(y/x)-1]y'；令y/x=u，则y=ux..........①；y'=u'x+u..........②
将①②代入前式得：u²=(u-1)(u'x+u)；化简得：(u-1)xu'=u;
分离变量得：[(u-1)/u]du=dx/x；积分之得：u-lnu=lnx+lnc=ln(cx);
故cx=(e^u)/u；将u=y/x代入即得原方程的通解为：cx=x[e^(y/x)]/y；
消去x得通解：cy=e^(y/x)；或写成 y=xln(cy)；

Answer 2

两边同除以x^2, 化简得
（y/x)^2+dy/dx=y/x*dy/dx
令y/x=u，则dy/dx=u+xdu/dx, 带入上述方程
u^2+u+xdu/dx=u(u+xdu/dx)
整理，分离变量各自积分
∫（u-1)/udu= ∫ 1/xdx
u-ln|u|=lnx+c
则
e^u/u=cx
反带回y/x=u
则 e^(y/x)/y=c

追答

满意请采纳