Question

过点P（4，1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB（O为原点）的面积S最小时，求直

过点P（4，1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值．

Answer 1

设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0），
则直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
又∵P（4，1）在直线l上，
∴

4

a

+

1

b

=1，…（6分）
又∵1=

4

a

+

1

b

≥2

4 ab

，
∴ab≥16，∴S=

1

2

ab≥8，
等号当且仅当

4

a

=

1

b

=

1

2

，即a=8，b=2时成立，
∴直线l的方程为：x+4y-8=0，S_min=8．         …（12分）