Question

过椭圆x24+y23=1的右焦点F（1，0）的直线L交椭圆于A，B两点，当△OAB面积最大时，求直线L的方程

过椭圆x24+y23=1的右焦点F（1，0）的直线L交椭圆于A，B两点，当△OAB面积最大时，求直线L的方程．

Answer 1

设直线L的方程：x=my+1，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

x＝my+1 x2 4 + y2 3 ＝1

?（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y1+y2＝

?6m

4+3m2

，y1y2＝

?9

4+3m2

，
∴S△OAB＝S△OAF+S△OBF＝

1

2

(|y1|+|y2|)＝

1

2

|y1?y2|＝

1

2

(y1+y2)2?4y1y2

=6

m2+1 (4+3m2)2

＝

6

(4+3m2)2 m2+1

＝

6

9(m2+1)+ 9 m2+1 ? 8 m2+1 +6

≤

6

24? 8 m2+1

≤

3

2

（当m=0时等号成立），
∴当直线L的方程为x=1时，(S△OAB)max＝

3

2

．