Question

设A为n阶方阵，且R（A）=r＜n，则在A的列向量中（　　）A．必有r个列向量线性无关B．任意一个列向量都可

设A为n阶方阵，且R（A）=r＜n，则在A的列向量中（　　）A．必有r个列向量线性无关B．任意一个列向量都可由其中r个列向量线性表示C．任意r个列向量都构成最大无关组D．任意r个列向量线性无关

Answer 1

因为矩阵A的秩=A的列向量组的秩，
所以列向量组的秩=r＜n．
利用向量组的秩的概念可得，
必然存在r个线性无关的列向量，
且任意一个列向量都可以由这r个列向量线性表示．
因此，选项A正确．
取A=

1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

=（α₁，α₂，α₃，α₄），R（A）=2，可以说明选项B、C、D均错误．
因为列向量组不能由2个向量α₂，α₃线性表出，故B错误．
由于α₂，α₃线性相关，故不能构成最大无关组，从而选项C、D均错误．
综上，正确选项为A，
故选：A．