Question

（2014?浙江二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=12AB，E

（2014?浙江二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=12AB，E是BD的中点．（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角P-AB-D的正弦值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：如图，取PA中点F，连结EF、FD，
∵E是BP的中点，∴EF∥AB且EF=

1

2

AB，
又∵DC∥AB且DC=

1

2

AB，
∴EF∥DC且EF=DC，∴四边形EFDC是平行四边形，
故得EC∥FD …（2分）
又∵EC?平面PAD，FD?平面PAD，
∴EC∥平面ADE …（4分）
（Ⅱ）解：取AD中点H，连结PH，因为PA=PD，
所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角…（6分）
∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°
∴四边形ABCD是直角梯形，DC=CB=

1

2

AB
设AB=2a，则BD=

2

a，
在△ABD中，易得∠DBA=45°，
∴AD=

2

a，PH=

PD2?DH2

=

2

2

a，
又∵BD²+AD²=4a²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°
∴HB=

DH2+DB2

=

10

2

a，
∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=

PH

HB

=

5

5

…（10分）
（Ⅲ）解：在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，
则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，
∴∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，
由AB=2a…（11分）
∴HA=

2

2

a，
又∠HAB=45°∴HG=

1

2

a，PG=

3

2

a
在Rt△PHG中，sin∠PGH=

PH

PG

=

6

3

，
∴二面角P-AB-D的正弦值为

6

3

…（15分）