Question

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）等比

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）等比数列{bn}满足：b1=a1，b2=a2-1，若数列cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0    
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16              ①---------------（1分）
由a₃a₆=55得（a₁+2d）（a₁+5d）=55         ②---------------（2分）
由①得2a₁=16-7d将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220
∴d²=4，又d＞0
∴d=2，代入①得a₁=1，---------------（3分）
∴a_n=1+（n-1）?2=2n-1．------------------（4分）
（Ⅱ）b₁=1，b₂=2
∴bn＝2n?1
∴cn＝an?bn＝(2n?1)?2n?1，---------------（5分）
Sn＝1?20+3?21+…+(2n?1)?2n?1
2Sn＝1?21+3?22+…+(2n?1)?2n---------------（6分）
两式相减可得：?Sn＝1?20+2?21+2?22+…+2?2n?1?(2n?1)?2n
=1+2×

2(1?2n?1)

1?2

-（2n-1）?2ⁿ
∴?Sn＝1+

4(1?2n?1)

1?2

?(2n?1)?2n＝1+2n+1?4?(2n?1)?2n=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）?2ⁿ---------------（7分）
∴Sn＝3+(2n?1)?2n?2n+1＝3+(2n?3)?2n---------------（8分）