Question

已知双曲线C的渐近线方程为 y=± 3 x ，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为 3

已知双曲线C的渐近线方程为 y=± 3 x ，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为 3 ．（1）求双曲线C的方程；（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证： |AB| |FD| 为定值．

Answer 1

（1）设双曲线方程为3x 2 -y 2 =λ（λ＞0）…（2分） 由题知c=2，∴ λ 3 +λ=4 ，∴λ=3…（4分） ∴双曲线方程为： x 2 - y 2 3 =1 …（5分） （2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入 x 2 - y 2 3 =1 整理得（3-k 2 ）x 2 +4k 2 x-4k 2 -3=0…（6分） 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），AB的中点P（x 0 ，y 0 ） 则 x 0 =- 2 k 2 3- k 2 ，代入l得： y 0 = -6k 3- k 2 …（7分） |AB|= 1+ k 2 | x 1 - x 2 |=…= 6( k 2 +1) |3- k 2 | …（8分） AB的垂直平分线方程为 y=- 1 k (x+ 2 k 2 3- k 2 )- 6k 3- k 2 …（9分） 令y=0得 x D = -8 k 2 3- k 2 …（10分） ∴ |FD|=| -8 k 2 3- k 2 -2|=| -6(1+ k 2 ) 3- k 2 |= 6(1+ k 2 ) |3- k 2 | …（11分） ∴ |AB| |FD| =1 为定值．…（12分）