Question

（2014?浦东新区二模）（理）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，∠ABC=π4，D、M、N分

（2014?浦东新区二模）（理）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，∠ABC=π4，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点．（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；（2）求点M到平面ADN之间的距离．

Answer 1

解答：解：（1）设AB的中点为E，连接EN，
则EN∥AC，且EN＝

1

2

AC，
所以∠MNE或其补角即为异面直线MN与AC所成的角．…3分
连接ME，在Rt△MEN中，tan∠MNE＝

ME

NE

＝2…5分
所以异面直线MN与AC所成的角为arctan2．…6分
（2）因为AB=AC=1，∠ABC＝

π

4

，所以AB⊥AC，
以点A为坐标原点，分别以AB、AC、AA₁所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则：M(

1

2

，0，1)，N(

1

2

，

1

2

，0)，D(0，1，

1

2

)，…8分
设平面AND的一个法向量为

n

＝(x，y，z)

则

n ? AN ＝0 n ? AD ＝0

?

x+y＝0 y+ z 2 ＝0

所以平面ADN的一个法向量为

n

＝(1，?1，2)．…10分
又

AM

＝(

1

2

，0，1)，
所以点M到平面OAD的距离d＝

| AM ? n |

| n |

＝

| 1 2 +2|

6

＝

5 6

12

．…12分．