已知函数f(x)=lnx-x2+x+2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a>0,求f(x)在区间(0,a]上的最大
已知函数f(x)=lnx-x2+x+2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a>0,求f(x)在区间(0,a]上的最大值;(III)设函数g(x)=x3-(1+2e)x...
已知函数f(x)=lnx-x2+x+2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a>0,求f(x)在区间(0,a]上的最大值;(III)设函数g(x)=x3-(1+2e)x2+(m+1)x+2,(m∈R),试讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数.
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(Ⅰ)∵f(x)=lnx-x2+x+2,其定义域为(0,+∞).(1分)
∴f′(x)=
.(2分)
∵x>0,∴当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.
故函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+∞).
当0<a≤1时,f(x)在区间(0,a]上单调递增,f(x)的最大值f(x)max=f(a)=lna-a2+a+2;
当a>1时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减,则f(x)在x=1处取得极大值,也即该函数在(0,a]上的最大值,此时f(x)的最大值f(x)max=f(1)=2;
∴f(x)在区间(0,a]上的最大值f(x)=
…(8分)
(Ⅲ)讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数,即讨论方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上根的个数.
该方程为lnx-x2+x+2=x3-(1+2e)x2+(m+1)x+2,即lnx=x3-2ex2+mx.
只需讨论方程
=x2?2ex+m在(0,+∞)上根的个数,…(9分)
令u(x)=
(x>0),v(x)=x2-2ex+m.
因u(x)=
(x>0),u′(x)=
,令u′(x)=0,得x=e,
当x>e时,u′(x)<0;当0<x<e时,u′(x)>0,∴u(x)max=u(e)=
,
当x→0+时,u(x)=
→-∞; 当x→+∞时,
→0,但此时u(x)>0,且以x轴为渐近线.
如图构造u(x)=
的图象,并作出函数v(x)=x2-2ex+m的图象.
①当m-e2>
,即m>e2+
时,方程无根,没有公共点;
②当m?e2=
,即m=e2+
时,方程只有一个根,有一个公共点;
③当m?e2<
,即m<e2+
时,方程有两个根,有两个公共点.…(12分)
∴f′(x)=
?(2x+1)(x?1) |
x |
∵x>0,∴当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.
故函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+∞).
当0<a≤1时,f(x)在区间(0,a]上单调递增,f(x)的最大值f(x)max=f(a)=lna-a2+a+2;
当a>1时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减,则f(x)在x=1处取得极大值,也即该函数在(0,a]上的最大值,此时f(x)的最大值f(x)max=f(1)=2;
∴f(x)在区间(0,a]上的最大值f(x)=
|
(Ⅲ)讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数,即讨论方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上根的个数.
该方程为lnx-x2+x+2=x3-(1+2e)x2+(m+1)x+2,即lnx=x3-2ex2+mx.
只需讨论方程
lnx |
x |
令u(x)=
lnx |
x |
因u(x)=
lnx |
x |
1?lnx |
x2 |
当x>e时,u′(x)<0;当0<x<e时,u′(x)>0,∴u(x)max=u(e)=
1 |
e |
当x→0+时,u(x)=
lnx |
x |
lnx |
x |
如图构造u(x)=
lnx |
x |
①当m-e2>
1 |
e |
1 |
e |
②当m?e2=
1 |
e |
1 |
e |
③当m?e2<
1 |
e |
1 |
e |
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