Question

高二基本不等式题

已知a>=0,b>=o,a+b=1,则根号下(a+1/2)+根号下(b+1/2)的取值范围是？
请使用基本不等式解答本题，并写清楚过程，谢谢！

Answer 1

a>=0,b>=o,a+b=1，0≤a,≤1，0≤b≤1，b=1-a
√(a+1/2)+√(b+1/2)=√(a+1/2)+√(3/2-a)=y
对y求导，y'=1/[2√(a+1/2)]-1/[2√(3/2-a)]
当y'=0时取得极值，即1/[2√(a+1/2)]=1/[2√(3/2-a)]，解得a=1/2∈[0,1]，此时b=1-a=1/2
此时y(1/2)=√(1/2+1/2)+√(3/2-1/2)=1+1=2
而端点值y(0)=√(0+1/2)+√(3/2-0)=(√2+√6)/2
y(1)=√(1+1/2)+√(3/2-1)=(√2+√6)/2
∴√(a+1/2)+√(b+1/2)的取值范围为：[(√2+√6)/2, 2]

追问

能用基本不等式求解吗？

追答

a>=0,b>=o,a+b=1，0≤a≤1，0≤b≤1，b=1-a
√(a+1/2)+√(b+1/2)=√(a+1/2)+√(3/2-a)=y>0
y²=a+1/2+3/2-a+2√(a+1/2)(3/2-a)
=2+2√(-a²+a+3/4)
=2+2√[1-(a-1/2)²]
当a=1/2时候 y²取得最大值4，y>0，y=2
当a=0 或者a=1的时候 y²取得最小值 2+√3
y>0，所以y=(√2+√6)/2
∴√(a+1/2)+√(b+1/2)的取值范围为：[(√2+√6)/2, 2]

Answer 2

因为√[(x²+y²)/2]≥(x+y)/2
设x=√[a+(1/2)] y=√[b+(1/2)]
则√[a+1/2+b+1/2)/2]≥(√[a+(1/2)] +√[b+(1/2)])/2，即1≥(√[a+(1/2)] +√[b+(1/2)])/2
所以√[a+(1/2)]+√[b+(1/2)]≤2
因为a>0,b>0，所以]√[a+(1/2)] >√2/2，√[b+(1/2)])/2>√2/2
所以√[a+(1/2)] +√[b+(1/2)]>>√2
所以取值范围是（√2，2]

追问

抱歉最小值不正确，最小值是(√6+√2)/2，用导数可以求出来，但是用基本不等式怎么求我不会，我就是想问这个的

Answer 3

书上都有啊，自己动手找，还可以加强记忆

追问

我是不会求最小值，最大值能求出来