Question

（2014?玉林）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与A

（2014?玉林）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图，∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠2+∠C=90°，
而OC⊥OB，
∴∠C+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠1=∠2，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，解得x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴

OD

AG

=

DE

AE

，即

3

AG

=

4

3+5

，
∴AG=6．