Question

设数列{an}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项

设数列{an}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）若a1=4，d=2，求证：该数列是“封闭数列”；（2）试判断数列an=2n-7（n∈N*）是否是“封闭数列”，为什么？（3）设Sn是数列{an}的前n项和，若公差d=1，a1＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使limn→∞（1S1+1S2+…+1Sn）=119；若存在，求{an}的通项公式，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：a_n=4+（n-1）?2=2n+2，
对任意的m，n∈N^*，有
a_m+a_n=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，
∵m+n+1∈N⁺，
于是，令p=m+n+1，
则有a_p=2p+2∈{a_n}．
∴该数列是“封闭数列”．
（2）∵a₁=-5，a₂=-3，
∴a₁+a₂=-8，
令a_n=a₁+a₂=-8，
∴2n-7=-8，n=-

1

2

?N+，
所以数列a_n=2n-7（n∈N⁺）不是封闭数列．
（3）解：由{a_n}是“封闭数列”，
得：对任意m，n∈N⁺，
必存在p∈N⁺使
a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，
于是有a₁=p-m-n+1为整数，
又∵a₁＞0，
∴a₁是正整数．
若a₁=1，则Sn＝

n(n+1)

2

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=2＞

11

9

，
若a₁=2，则Sn＝

n(n+3)

2

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=

11

9

，
若a₁≥3，则Sn＝

n(2a1+n?1)

2

＞

n(n+3)

2

，
于是

1

Sn

＜

2

n(n+3)

，
所以

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)＜

11

9

，
综上所述，a₁=2，
∴a_n=n+1（n∈N⁺），
显然，该数列是“封闭数列”．