Question

已知等差数列{an}的公差d∈N*，且a1=16，若数列{an}中任意两项之和仍是该数列中的一项，则d的所有可能取

已知等差数列{an}的公差d∈N*，且a1=16，若数列{an}中任意两项之和仍是该数列中的一项，则d的所有可能取值的和为______．

Answer 1

设等差数列的公差为d，则a_n=16+（n-1）d．
所以数列{a_n}中任意两项之和a_m+a_n=16+（m-1）d+16+（n-1）d=32+（m+n-2）d
设任意一项为a_k=16+（k-1）d．
则由a_m+a_n=a_k?16=-（m+n-k-1）d?d=

16

k+1?m?n

．
又因为k，m，n，d∈N^*，
∴m+n-k-1=1，2，4，8，16
∴d=1，2，4，8，16．
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+8+16=31．
故答案为31．