Question

已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（

已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．（1）求线段AB的中点M的轨迹；（2）过B点的直线L与圆C有两个交点A，B．当OA⊥OB时，求L的斜率．

Answer 1

解（1）设A（x₁，y₁），M（x，y），
由中点公式得x₁=2x-1，y₁=2y-3
因为A在圆C上，所以（2x）²+（2y-3）²=4，即x²+（y-1.5）²=1．
点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；
（2）设L的斜率为k，则L的方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，
由题意知，圆心C（-1，0）到L的距离为

2

．
由点到直线的距离公式得

|-k-k+3|

k2+1

=

2

，
∴4k²-12k+9=2k²+2
∴2k²-12k+7=0，解得k=3±

22

2

．