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已知:如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于
已知:如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交外角∠DCA的平分线于点F,连接AE、AF.(1...
已知:如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交外角∠DCA的平分线于点F,连接AE、AF.(1)求证:EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
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(1)证明:∵FC平分∠ACD,
∴∠ACF=∠DCF,
∵MN∥BD,
∴∠OFC=∠DCF,
∴∠OFC=∠ACF,
∴OF=OC,
同理OE=OC,
∴OE=OF.
(2)当O为AC中点时,四边形AECF是矩形,
证明:∵O为AC中点,
∴OA=OC,
∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵CF平分∠ACD,CE平分∠ACB,
∴∠ACF=∠DCF=
∠ACD,∠ACE=∠BCE=
∠ACB,
∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=
∠ACD+
∠ACB=
×180°=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
∴∠ACF=∠DCF,
∵MN∥BD,
∴∠OFC=∠DCF,
∴∠OFC=∠ACF,
∴OF=OC,
同理OE=OC,
∴OE=OF.
(2)当O为AC中点时,四边形AECF是矩形,
证明:∵O为AC中点,
∴OA=OC,
∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵CF平分∠ACD,CE平分∠ACB,
∴∠ACF=∠DCF=
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∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=
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∴平行四边形AECF是矩形.
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