已知：如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰
已知：如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13...
已知：如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13）=0（其中m为实数）的两根．（1）求证：BE=BD．（2）若GE?EF=63，求∠A的度数．
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解答：（1）证明：∵BE、BD是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13）=0的两根，
∴△=（-6）2-4（m2+4m+13）=-4（m+2）2≥0，∴m=-2，（2分）
原方程为x2-6x+9=0，
解之，得x1=x2=3，
∴BE=BD=3；（4分）
（2）解：由相交弦定理得AE?BE=GE?FE=6
∴AE=2
（5分）
∵PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3，
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A，
∴∠3=∠4（7分）
方法一：易证△PBD∽△PAE，
∴
＝
△PDC∽△PEB
∴
＝
（9分）
∴
＝
，DC＝
＝
＝
（10分）
在Rt△ACB中，sinA＝
＝
＝
＝
＝
∴∠A=60°；（12分）
方法二：易证△PBC∽△PAB，
∴
＝
∵△PBD∽△PAE
∴
＝
（9分）
∴
＝
（10分）
sin∠A＝
＝
＝
＝
∴∠A=60°（12分）
∴△=（-6）2-4（m2+4m+13）=-4（m+2）2≥0，∴m=-2，（2分）
原方程为x2-6x+9=0，
解之，得x1=x2=3，
∴BE=BD=3；（4分）
（2）解：由相交弦定理得AE?BE=GE?FE=6
| 3 |
∴AE=2
| 3 |
∵PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3，
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A，
∴∠3=∠4（7分）
方法一：易证△PBD∽△PAE，
∴
| BD |
| AE |
| PD |
| PE |
△PDC∽△PEB
∴
| DC |
| EB |
| PD |
| PE |
∴
| BD |
| AE |
| DC |
| EB |
| BD?EB |
| AE |
| 3×3 | ||
2
|
3
| ||
| 2 |
在Rt△ACB中，sinA＝
| BC |
| AB |
3+
| ||||
3+2
|
6+3
| ||
6+4
|
3(2+
| ||||
2
|
| ||
| 2 |
∴∠A=60°；（12分）
方法二：易证△PBC∽△PAB，
∴
| BC |
| AB |
| PB |
| PA |
∵△PBD∽△PAE
∴
| BD |
| AE |
| PB |
| PA |
∴
| BC |
| AB |
| BD |
| AE |
sin∠A＝
| BC |
| AB |
| BD |
| AE |
| 3 | ||
2
|
| ||
| 2 |
∴∠A=60°（12分）
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