Question

我们知道,如果定义在某区间上的函数f(x)满足对该区间上的任意两个数x1、x2,总有

我们知道，如果定义在某区间上的函数f(x)满足对该区间上的任意两个数x1、x2，总有
不等式[f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{an}，如果对任意正整数n，总有不等式：
（an+an+2）/2≤an+1成立，则称数列{an}为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{an}满足如下两个条件：
（1）数列{an}为上凸数列，且a1=1；，a10=28；
（2）对正整数n（1≤n<10,n为整数），都有|an—bn|≤20，其中bn=n^2-6n+10.
则数列{an}中的第五项a5的取值范围为       .

Answer 1

问题：我们知道，如果定义在某区间上的函数f(x)满足对该区间上的任意两个数x1、x2，总有

不等式[f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简

称上凸）. 类比上述定义，对于数列{an}，如果对任意正整数n，总有不等式：

（an+an+2）/2≤an+1成立，则称数列{an}为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{an}满足如下两个条件：

（1）数列{an}为上凸数列，且a1=1；，a10=28；

（2）对正整数n（1≤n<10,n为整数），都有|an—bn|≤20，其中bn=n^2-6n+10.

则数列{an}中的第五项a5的取值范围为 .

解1:由am+an<=am+1+an-1 m+2<=n，可得：

a1+a3<a2+a2
a1+a4<a2+a3
. . . .
..........
a1+a10<a2+a9
把以上8个不等式相加：8a1+a10<8a2+a2 ∴a2>4
a2+a4<a3+a3
a2+a5<a3+a4
..........
a2+a10<a3+a9
把以上7个不等式相加：7a2+a10<7a3+a3 ∴a3>7
a3+a5<a4+a4
a3+a6<a4+a5
..........
a3+a10<a4+a9
把以上6个不等式相加：6a1+a10<6a4+a4 ∴a4>10
a4+a6<a5+a5
a4+a7<a5+a6
..........
a4+a10<a5+a9
把以上5个不等式相加：5a1+a10<5a5+a5 ∴a5>13
再用条件2求上限
b5=25-30+10=5 a5-5<=20 a5<=25
∴25>=a5>13
解2:假设an=An^2+Bn+C(A<0)

由a1=1,a10=28得到B=11-3A,C=10A-2.所以an=An^2+(11-3A)n+10A-2

a5=13-20A,|a5-b5|≤20得到-3/5≤A≤0,所以13≤13-20A≤25. a5的取值范围为[13,25]

解3：在线段（1，a1）（10，a10）上取横坐标为5的点有a5=13，

又|a5-b5||≤20得到a5的取值范围为[13,25]