Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，（1）求抛物线的解析式；（2

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，（1）求抛物线的解析式；（2）求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线是否存在点E（不与点A，B，C重合）使得∠DBE=45°？若不存在．请说明理由；若存在请求E点的坐标．

Answer 1

（1）抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴

?1?b+c＝0 c＝4

解得

b＝3 c＝4

∴抛物线的解析式y=-x²+3x+4

（2）令-x²+3x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）
设直线BC的解析式为y=kx+a
∴

4k+a＝0 a＝4

解得

k＝?1 a＝4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4
设P点的坐标为（t，-t²+3t+4），则Q点的坐标为（t，-t+4）
∴m=（-t²+3t+4）-（-t+4）=-（t-2）²+4
整理得m=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，m的最大值为4

（3）存在
∵抛物线一点D的纵坐标为m的最大值4，
∴-x²+3x+4=4，解得x₁