Question

（2013?湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C

（2013?湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）²+4，
将A（0，-5）代入求得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5．

（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：
令y=0，即-x²+6x-5=0，得x=1或x=5，∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，
∴

AB

BC

＝

OB

CE

，即

52+12

4

＝

1

CE

，
求得⊙C的半径CE=

4

26

=

4 26

26

=

2 26

13

；
而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞

2 26

13

，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．

（3）存在．理由如下：
有两种情况：
（I）如答图②所示，点P在x轴上方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上，∴n=-m²+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=2或m=5．
当m=5时，点F与点C重合，故舍去，
∴m=2，∴n=3，
∴点P坐标为（2，3）；
（II）如答图③所示，点P在x轴下方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点P作PF⊥y轴于点F，
∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n）