Question

2011浙江台州数学中考最后一小题求解析><

已知抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
（3）如图3，若抛物线y=a（x﹣m）2+n的伴随直线是y=﹣2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示），若不存在，请说明理由．
答案是P1 (4/5b，7/5b)，P2 (4/5b，9/5b)，P3 (4/5b，16/5b)，P4 (4/5b，－13/5b)
P3 (4/5b，16/5b）该怎么求呢？

Answer 1

A、B在拌随直线y=-2x+b上，当x=0时y=b，即A点的坐标为(0，b)；x=m 时y=-2m+b，即B点的
坐标为(m，-2m+b)；点D与点B关于原点对称，故D点的坐标为(-m，2m-b)；
BD所在直线的斜率KBD=[(2m-b)-(-2m+b)]/(-m-m)=(4m-2b)/(-2m)=(b-2m)/m
过原点作BD的垂直线，其斜率=-m/(b-2m)，其方程为y=-[m/(b-2m)]x，令x=m，即得P点的纵坐
标y=-m²/(b-2m)，即P点的坐标为(m，-m²/(b-2m))..........(1)
此时P在BD的垂直平分线上，故必有PB=PD，即△PBD是一个等腰三角形。
又因为AB⊥BC，KAB=-2，C点的坐标为(0，-b)，故KBC=[(-2m+b)-(-b)]/m=(-2m+2b)/m=1/2
-4m+4b=m，5m=4b，∴m=4b/5，代入(1)式得P点的坐标为(4b/5，16b/15).

追问

BD的垂直线斜率=-m/(b-2m)?为什么不是-(b-2m)/m？

追答

BD 的斜率KBD=(b-2m)/m，其垂直平分线的斜率等于其负倒数，因此是-m/(b-2m).
两条互相垂直直线的斜率互为负倒数，不是互为相反数！