Question

如图，在三棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 中，侧面ABB 1 A 1 ，ACC 1 A 1 均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B 1 C

如图，在三棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 中，侧面ABB 1 A 1 ，ACC 1 A 1 均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B 1 C 1 的中点．（Ⅰ）求证：A 1 D⊥平面BB 1 C 1 C；（Ⅱ）求证：AB 1 平面A 1 DC；（Ⅲ）求二面角D﹣A 1 C﹣A的余弦值．

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Answer 1

（Ⅰ）证明：因为侧面ABB 1 A 1 ，ACC 1 A 1 均为正方形， 所以AA 1 ⊥AC，AA 1 ⊥AB， 所以AA 1 ⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 是直三棱柱． 因为A 1 D 平面A 1 B 1 C 1 ， 所以CC 1 ⊥A 1 D， 又因为A 1 B 1 =A 1 C 1 ，D为B 1 C 1 中点， 所以A 1 D⊥B 1 C 1 ． 因为CC 1 ∩B 1 C 1 =C 1 ， 所以A 1 D⊥平面BB 1 C 1 C． （Ⅱ）证明：连接AC 1 ，交A 1 C于点O，连接OD， 因为ACC 1 A 1 为正方形， 所以O为AC 1 中点， 又D为B 1 C 1 中点， 所以OD为△AB 1 C 1 中位线，所以AB 1 OD， 因为OD 平面A 1 DC，AB 1 平面A 1 DC， 所以AB 1 平面A 1 DC． （Ⅲ）解：因为侧面ABB 1 A 1 ，ACC 1 A 1 均为正方形，∠BAC=90°， 所以AB，AC，AA 1 两两互相垂直， 如图所示建立直角坐标系A﹣xyz．设AB=1，则 . ，设平面A 1 DC的法向量为n=（x，y，z）， 则有 ， ，x=﹣y=﹣z， 取x=1，得n=（1，﹣1，﹣1）． 又因为AB⊥平面ACC 1 A 1 ，所以平面ACC 1 A 1 的法向量为 ， ， 因为二面角D﹣A 1 C﹣A是钝角， 所以，二面角D﹣A 1 C﹣A的余弦值为 ．