Question

（2009?成都）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC

（2009?成都）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG?DE=3（2-2），求⊙O的面积．

Answer 1

（1）解：猜想OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD，
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．
∴AE=BF．

（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．
∴OH=

1

2

AD，即AD=2OH，
又∠CAD=∠BAD?CD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴

BD

AD

＝

DE

DB

，即BD²=AD?DE．
∴BD2＝AD?DE＝2OG?DE＝6(2?

2

)．
又BD=FD，∴BF=2BD，
∴BF2＝4BD2＝24(2?

2

)①，
设AC=x，则BC=x，AB=

2

x，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=

2

x，BD=FD．
∴CF=AF-AC=

2

x?x＝(

2

?1)x．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF2＝BC2+CF2＝x