已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数
已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数f（x）+2x的极值；（Ⅲ）若f（x）＜12x在x∈（1...
已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数f（x）+2x的极值；（Ⅲ）若f（x）＜12x在x∈（1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．
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（Ⅰ）当a=1时，f（x）=
+lnx，
∴x＞0，f′(x)＝
?
=
，
由f′(x)＝
=0，得x=1，
当x∈（0，1）时，f′（x）0，
∴函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x=
+lnx+2x，
g′（x）=
?
+2=
，
由g′（x）=0，得x1=-1，x2＝
，
∵x＞0，∴x=-1不合题意，舍去，
当x∈（0，
）时，g′（x）0，
∴函数g（x）的单调减区间是（0，
），单调增区间是（
，+∞）．
∴x=
时，函数f（x）+2x取极小值g(
)=2+ln
+2×
=3-ln2．
无极大值．
（Ⅲ）∵f（x）＜
x在x∈（1，+∞）时恒成立，
∴
+lnx-
x＜0在x∈（1，+∞）时恒成立，
∵x＞0，∴a＜
x2?xlnx在x∈（1，+∞）时恒成立，
设h（x）=
x2-xlnx，
则h′（x）=x-lnx-1，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）=
x2-xlnx在（1，+∞）是增函数，
∴a≤h（1）=
| 1 |
| x |
∴x＞0，f′(x)＝
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| x?1 |
| x2 |
由f′(x)＝
| x?1 |
| x2 |
当x∈（0，1）时，f′（x）0，
∴函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2x=
| 1 |
| x |
g′（x）=
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 2x2+x?1 |
| x2 |
由g′（x）=0，得x1=-1，x2＝
| 1 |
| 2 |
∵x＞0，∴x=-1不合题意，舍去，
当x∈（0，
| 1 |
| 2 |
∴函数g（x）的单调减区间是（0，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
无极大值．
（Ⅲ）∵f（x）＜
| 1 |
| 2 |
∴
| a |
| x |
| 1 |
| 2 |
∵x＞0，∴a＜
| 1 |
| 2 |
设h（x）=
| 1 |
| 2 |
则h′（x）=x-lnx-1，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）=
| 1 |
| 2 |
∴a≤h（1）=
