Question

已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，

已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求函数f（x）在区间[12，1]上的最小值；（3）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，x2），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，
∴f′(x)＝2ax+(1?2a)?

1

x

＝

2ax2+(1?2a)x?1

x

=

(2ax+1)(x?1)

x

，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x1＝?

1

2a

，x₂=1，
①当?

1

2a

＞1，即?

1

2

＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
∴f（x）在[

1

2

，1]上的最小值为f（1）=1-a．
②当

1

2

≤?

1

2a

≤1，即-1≤a≤?

1

2

时，
f（x）在[

1

2

，?

1

2a

]上是减函数，在[?

1

2a

，1]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f(?

1

2a

)＝1?

1

4a

+ln(?2a)．
③当?

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1时，f（x）在[

1

2

，1]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f(

1

2

)＝

1

2

?

3

4

a+ln2．
综上，函数f（x）在区间[

1

2

，1]上的最小值为：
f(x)min＝

1 2 ? 3 4 a+ln2      a＜?1 1? 1 4a +ln(?2a)  ?1≤a≤? 1 2 1?a                     ? 1 2 ＜a＜0

（3）设M（x₀，y₀），则点N的横坐标为x0＝

x1+x2

2

，
直线AB的斜率k1＝

y1?y2

x1?x2

=

1

x1?x2

[a(x12?x22)+(1?2a)(x1?x2)+lnx2?lnx1]
=a(x1+x2)+(1?2a)+

lnx2?lnx1

x1?x2

，
曲线C在点N处的切线斜率k2＝f′(x0)＝2ax0+(1?2a)?

1

x0

=a(x1+x2)+(1?2a)?

2

x1+x2

，
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k₁=k₂，
即

lnx2?lnx1

x1?x2

＝?

2

x1+x2

，
∴ln

x2

x1

＝

2(x2?x1)

x1+x2

＝

2( x2 x1 ?1)

1+ x2 x1

，
不妨设x₁＜x₂，

x2

x1

＝t＞1，则lnt＝

2(t?1)

1+t

，
令g(t)＝lnt?

2(t?1)

1+t

 (t＞1)，则g′(t)＝

1

t

?

4

(1+t)2

＝

(t?1)2

t(1+t)2

＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，
∴g（t）＞0，即lnt＝

2(t?1)

1+t

不成立，
∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．