Question

如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若

如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

Answer 1

（1）如图1，EC和DF相等．理由如下：
作OM⊥EF于M点，则CM=DM，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OM∥BF，
而OA=OB，
∴OM为梯形ABFE的中位线，
∴EM=FM，
∴EM-CM=FM-DM，
即EC=DF；
（2）结论不改变．如图2，与（1）一样可得CM=DM，EM=FM，
则CM-EM=DM-FM，
即EC=DF；
（3）如图3，当EF∥AB时，与（1）一样可证得EC=DF；
（4）如图4，作OM⊥EF于M点，则CM=DM，
∵EC⊥CD，FD⊥CD，
∴CE∥OM∥DF，
∴OM为梯形CDFE的中位线，
∴OE=OF，
∴OA-OE=OB-OF，
即AE=BF．