Question

计算定积分∫(4,0)根号16-x^2 dx 请高手给个详细步骤！谢谢

Answer 1

计算过程如下：

∫(4,0)√(16-x^2)

令y=√(16-x^2) -> y^2=16-x^2 -> x^2+y^2=16 (y>=0)

则定积分表示以(2,0)为圆心，半径为r=2的半圆的面积

∫(4,0)√(16-x^2)

=1/2*(πr^2)

=1/2*(4π)=4π

一般定理：

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

Answer 2

令x=4sinθ，则∫√(16-x²)dx=∫√(16-16sin²θ)d(4sinθ)

=16∫cos²θdθ

=8∫[cos(2θ)+1]dθ

=4sin(2θ)+8θ+C

再将θ=arcsin(x/4)反带入原式有

4sin(2θ)+8θ+C

=8sinθ√(1-sin²θ)+8θ+C

=(x/2)√(16-x²)+8arcsin(x/4)+C

代值：=4π

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

令x=4sinθ，则∫√(16-x²)dx=∫√(16-16sin²θ)d(4sinθ)
=16∫cos²θdθ
=8∫[cos(2θ)+1]dθ
=4sin(2θ)+8θ+C
再将θ=arcsin(x/4)反带入原式有
4sin(2θ)+8θ+C
=8sinθ√(1-sin²θ)+8θ+C
=(x/2)√(16-x²)+8arcsin(x/4)+C
代值：=4π

Answer 4

用图像法，相当于一个圆心是0，0的半径是4的圆，因为根号16-x²大于等于0，所以可以看成是四分之一的圆面积，¼πr²＝4π