Question

已知函数 f(x)=ln(ax+1)+ 1-x 1+x ，x≥0 ，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值

已知函数 f(x)=ln(ax+1)+ 1-x 1+x ，x≥0 ，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)= a ax+1 - 2 (1+x) 2 = a x 2 +a-2 (ax+1) (1+x) 2 ， ∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0 即 a+a-2=0，解得 a=1 （Ⅱ） f′(x)= a x 2 +a-2 (ax+1) (1+x) 2 ， ∵x≥0，a＞0， ∴ax+1＞0 ①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0． ∴f（x）的单调增区间为（0，+∞） ②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得 x＞ 2-a a 由 f′(x)＜0解得x＜ 2-a a ∴f（x）的单调减区间为 (0， 2-a a ) ，单调增区间为 ( 2-a a ，+∞) （Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1 当0＜a＜2时，由（II）②知， f(x)在x= 2-a a 处取得最小值 f( 2-a a )＜f(0)=1 ， 综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）