Question

求证数学不等式成立

(1) a²+b²+5≥2(2a-b)

(2) 如果a,b都是正数,且a≠b,求证
(a³)²+(b³)²>(a²)²b²+a²(b²)²

不知能看清不，上面的本来是6次方跟4次方,我把它们拆成了2、3次方啊
帮帮忙先谢谢了啊

Answer 1

(1) a²+b²+5≥2(2a-b)
证明：将欲证式展开并整理，得：
a²-4a+4+b²+2b+1≥0
(a-2)²+(b+1)²≥0
要证原命题成立，就等价于证明上式成立。显然，不然a、b为任意实数，上式恒成立。

(2) 如果a,b都是正数,且a≠b,求证
a^6+b^6>a^4b²+a²b^4

证明：将欲证式移项，得：
a^6+b^6-a^4b²-a²b^4>0
(a^6-a²b^4)-(a^4b²-b^6)>0
a²(a^4-b^4)-b²(a^4-b^4)>0
(a²-b²)(a^4-b^4)>0
(a²-b²)(a²-b²)(a²+b²)>0
(a²-b²)²(a²+b²)>0
要证原命题成立，就等价于证上式成立，由于a、b均为正数且a≠b，所以上式恒大于0，倒推即可。