Question

如图所示，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（-1，

如图所示，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（-1，0），过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）在直线x=-12上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BDC和△COA中，

∠BDC＝∠COA＝90° ∠BCD＝∠OAC BC＝AC

，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C点坐标为（-1，0），
∴BD=CO=1，
∵B点横坐标为-3，
∴B点坐标为（-3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴

?k+b＝0 ?3k+b＝1

，
解得：

k＝? 1 2 b＝? 1 2

，
∴BC所在直线的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

；
（3）存在．
∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2
=

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Answer 2

（1）证明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BDC和△COA中，

∠BDC＝∠COA＝90° ∠BCD＝∠OAC BC＝AC

，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C点坐标为（-1，0），
∴BD=CO=1，
∵B点横坐标为-3，
∴B点坐标为（-3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴

?k+b＝0 ?3k+b＝1

，
解得：

k＝? 1 2 b＝? 1 2

，
∴BC所在直线的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

；
（3）存在．
∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2
=

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