Question

已知数列{an}满足:a1=1,a(n+1)-an=1,n∈N*,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn+bn=2,n∈N

已知数列{an}满足：a1=1，a(n+1)-an=1，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2，n∈N*。
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令数列{cn}满足cn=an.bn，求数列{cn}的前n项和Tn

Answer 1

1、
{an}:
a(n+1)-an=1知an是公差为1的等差数列
an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n

{bn}:
n≥2时 Sn+Sn-S(n-1)=2
2Sn-2=S(n-1)
两边减2
2(Sn- 2)=S(n-1)-2
[S(n-1)-2]/[(Sn- 2)]=2
公比倒数1/q=2 即公比是1/2
S1=b1 故又Sn+bn=2 有 2b1=2 得b1=1
首项b1-2=1-2=-1
故等比数列Sn -2= -1*(1/2)^(n-1)=(b1-bn*q)/(1-q) -2=(1-1/2*bn)/(1/2) -2
即 -1*(1/2)^(n-1)=(1-1/2*bn)/(1/2) -2
化简得bn= 1/2^(n-1)

2、
cn=an*bn=n*(1/2)^(n-1)
错位相减法
则Tn=1*(1/2)^0 + 2*(1/2)^1 +3*(1/2)^2 +......+n*(1/2)^(n-1) ......①
1/2*Tn=1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3 + .....n*(1/2)^n ......②
① - ② ：
1/2*Tn=1*(1/2)^0 + [ (1/2)^1+(1/2)^2+(1/2)^3+....(1/2)^(n-1) ] -n*(1/2)^n
1/2*Tn=1+ 1/2[1-(1/2)^(n-1)] /(1-1/2) - n*(1/2)^n
1/2*Tn=1+ 1-(1/2)^(n-1) - n*(1/2)^n
1/2*Tn=2- 2^(1-n) -n*2^(-n)
Tn=4 - 2^(2-n) - n*2^(1-n)

运算量相当大!! 哪里看不明的话问我。

Answer 2

∵a(n+1)-an=1
∴｛an｝为公差为1首项为1的等差数列∴an=n，
又∵Sn+bn=2
∴Sn=2-bn①
∴Sn-1=2-bn-1②
又∵Sn-Sn-1=bn
由①-②
得到2bn=bn-1
bn/bn-1=1/2
∴｛bn｝是公比为1/2首项1的等比数列
∴bn=(1/2)^n-1
∵cn=an.bn
∴cn=n*(1/2)^n-1
∴Tn=1*(1/2)^0+2*(1/2)^1+3*(1/2)^2+....+n*(1/2)^n-1①
将①两边同乘以公比1/2
∴1/2Tn=1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+....+n*(1/2)^n②
由由①-②
得到1/2Tn=(1/2)^0+(1/2)^1+(1/2)^2+....+(1/2)^n-1-(1/2)^n=1*(1-(1/2)^n)/1-1/2-(1/2)^n=2-(1/2)^n-(1/2)^n=2-2(1/2)^n，死了n多脑细胞，O(∩_∩)O，希望对你有帮助

Answer 3

(1)易知an为等差数列，bn为等比数列。则an=n，bn=1/2^n
(2)cn=an.bn,则cn=n/2^(n-1)
Tn=1+2/2+3/2^2+4/2^3+……+n/2^(n-1)
1/2Tn=1/2+2/2^2+3/2^3+……+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
Tn-1/2Tn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1)-n/2^n=2(1-1/2^n)-n/2^n=1/2Tn
所以Tn=4-1/2^(n-2)-n/2^(n-1)