Question

已知实数X.Y满足方程X^2+Y^2-4X+1=0 求Y-X的最大值和最小值；X^2+Y^2的最大值和最小值

Answer 1

可以用三个思路来做
已知X^2+Y^2-4X+1=0
所以(X-2)^2+Y^2=1原方程
1、参数方程：X=2+cost；Y=sint；t属于[-pi/2,pi/2]
那么Y-X
=sint-cost-2
那么X^2+Y^2
=4X-1
=4cost+7
转化为一元函数在定义域上的最值，很方便
2、可以通过构造拉格朗日函数求解
g1(X,Y)=Y-X+a(X^2+Y^2-4X+1)
g1对X求偏导=-1+2aX-4a=0
g1对Y求偏导=1+2aY=0
g1对xa求偏导X^2+Y^2-4X+1=0
联立上述方程，求得X,Y
然后在判断二阶偏导，来判定最大值还是最小值
g2(X,Y)=X^2+Y^2+a(X^2+Y^2-4X+1)同上

3、可以通过画图来做
X^2+Y^2-4X+1=0是圆，Y-X是直线，就是原上一点到直线的距离的最值
X^2+Y^2-4X+1=0是圆，X^2+Y^2是圆，就是两个圆上两点距离的最值

追问

谢谢

追答

具体的数值自己算一下吧