Question

已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C为短半轴长

以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。 （1）求椭圆C的方程。 （2）若AC，BD为椭圆C的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值。

Answer 1

已知椭圆C1: x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为1/√3，以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆与直线l：y=x+2相切。
（1）求椭圆C1的方程。
（2）若AC，BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值。

解：
（1）直线y=x+2到原点的距离为√2，由直线与圆相切知，圆半径为√2，故b=√2。
椭圆离心率为1/√3，即c/a=1/√3，c^2/a^2=1/3，(a^2-b^2)/a^2=1/3，所以a^2=3/2*b^2=3。
所以，椭圆方程为x^2/3+y^2/2=1。

（2）椭圆的几个参数为，c=1，e=1/√3，p=b^2/c=2。
以椭圆右焦点F为极点，x轴负方向为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为 ρ=e*p/(1-e*cos θ)=2/(√3 - cos θ)。
设点A、B、C、D的极坐标分别为(α, ρ1)、(α+π/2, ρ2)、(α+π, ρ3)、(α-π/2, ρ4)，即FA=ρ1，FB=ρ2，FC=ρ3，FD=ρ4，其中0≤α<2π，则
ρ1=2/(√3 - cos α)，
ρ2=2/(√3 - cos (α+π/2))=2/(√3 + sin α)，
ρ3=2/(√3 - cos (α+π))=2/(√3 + cos α)，
ρ4=2/(√3 - cos (α-π/2))=2/(√3 - sin α)。
由于四边形ABCD的对角线相互垂直，故面积S=1/2*|AC|*|BD|
（同菱形的面积公式，可以分别计算出△FAB、△FBC、FCD、FDA的面积——用直角边相乘除以2，然后相加，化简即可）
=1/2*(|FA|+|FC|)*(|FB|+|FD|)
=1/2*(ρ1+ρ3)*(ρ2+ρ4)
=1/2*[2/(√3 - cos α)+2/(√3 + cos α)]*[2/(√3 + sin α)+2/(√3 - sin α)]
=1/2*{4*√3/[(√3 - cos α)*(√3 + cos α)]}*{4*√3/[(√3 + sin α)*(√3 - sin α)]}
=8*√3^2/[(3 - (cos α)^2)*(3 - (sin α)^2)]
=24/{9-3*[ (cos α)^2+(sin α)^2]+(cos α)^2 * (sin α)^2}
=24/[6+(cos α)^2 * (sin α)^2]
=24/[6+(cos α * sin α)^2]
=24/[6+(1/2 * sin 2α)^2]
=96/[24+(sin 2α)^2]，
当(sin 2α)^2取最大值1时，即α=kπ/4（k=1、3、5、7）时，面积S取最小值96/25。
当(sin 2α)^2取最小值0时，即α=kπ/2（k=0、1、2、3）时，面积S取最大值4。

Answer 2

第一小题见图片

Answer 3

(1)x^2/6+y^2/4=1