Question

已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当0<=x<=2时，f(x)=x;当x>2时，y=f(x)的图像是顶点在P(3,4)且过点A

（2，2）的抛物线的一部分， (1)求函数y=f(x)的解析式（2）分别写出函数y=f(x)的增区间和减区间（3）若对任意的x∈R,f(x)<=m^2+m+1恒成立，试求实数m的取值范围

Answer 1

解：（1）函数为分段函数，当x>2时 函数为抛物线的一部分 ，设函数为 f（x）=ax^2+bx+c
顶点为 （3,4）得 函数导数2ax+b=0（x=3带入） 和 f(3)=4 又因为过点（2,2）得
f（2）=2，由以上三个方程 解出abc ，a=-2 b=12 c=-14， 又因为f（x）为偶函数 所以综上：
当0《x《2时 f（x）=x ，当x>2时 f（x）=-2x^2+12x-14 当-2《x《0时 f（x）=-x，
当x<-2时 f（x）=-2x^2-12x-14 。
（2）分别令其导数大于0，和小于0，得 增区间 为x《-3 U 0《x《3
减区间为x>3 U -2《x《0.
（3）函数在R上的最大值为其导数等于0的点 ，得 f（3）=4 为其最大值点，所以 要任意f（x）<=m^2+m+1 即只要4<=m^2+m+1 即 m^2+m-3>0 求出不等式 m的解即可。