Question

求证明：关于x,y的二元方程x^2+y^2-3^k=0 不存在有理数解.（k是任意正整数）.

Answer 1

楼主,你题目有问题吧.
设x=a/p,y=b/q,a与p不能再约简,b与q不能再约简,a、b、p、q都是正整数.
情况一：p=q=1,即a^2+b^2=3^k
设a=3m0+c0,b=3n0+d0,（c0=0、1、2,d0=0、1、2）,代入得
a^2+b^2=9(m0^2+n0^2)+6(m0c0+n0d0)+(c0^2+d0^2)
因为9(m0^2+n0^2)、6(m0c0+n0d0)都能被3整除
所以要使a^2+b^2=3^k成立,(c0^2+d0^2)必须能被3整除
经验证,得c0=d0=0,即a=3m0,b=3n0,m0^2+n0^2=3^(k-2)
重复上述步骤,可知存在N,使得mN=3m(N+1)+c(N+1)中m(N+1)=0,nN=3n(N+1)+d(N+1)中n(N+1)=0,k-2(N+1)≤2这三个结论中至少有一个结论成立,即不能再重复上述操作.
经验证,知不存在mN、nN、k-2(N+1),使得mN^2+nN^2=3^(k-2(N+1))成立.
情况二：p＞1且q=1 or p=1且q＞1
明显不成立
情况三：p＞1且q＞1
a^2/p^2+b^2/q^2=3^k
两边乘以p^2得,a^2+b^2*p^2/q^2=3^k*p^2,结合情况二知p=eq（e为正整数）
两边乘以q^2得,a^2*q^2/p^2+b^2=3^k*q^2,结合情况二知q=fp（f为正整数）
结合上两式得p=q,即a^2/p^2+b^2/p^2=3^k,a^2+b^2=3^k*p^2
结合情况一,mN^2+nN^2=3^(k-2(N+1))*p^2
①当k-2(N+1)=0,即mN^2+nN^2=p^2,这是勾股定理,存在正整数解,得a=(m^2-n^2)*3^L,b=2*m*n*3^L,p=m^2+n^2,k=2*L,即x=(m^2-n^2)*3^L/(m^2+n^2),y=2*m*n*3^L/(m^2+n^2),k=2*L
例如：m=2,n=1,L=1,即x=9/5,y=12/5,k=2,代入得(9/5)^2
+(12/5)^2=225/25=9=3^2成立
②当k-2(N+1)≥1,结合情况一,知无解
综上所述,存在有理数解,当x=(m^2-n^2)*3^L/(m^2+n^2),y=2*m*n*3^L/(m^2+n^2),k=2*L,m、n、k为正整数且m＞n且m与n约简,能使x^2+y^2=3^k成立,即x^2+y^2-3^k=0成立