x+y+z=1,x2+y2+z2=3,求xyz最大值,怎么做

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zhangsonglin_c
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2015-11-26 · 醉心答题,欢迎关注
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平方:

x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=1

3+2(xy+yz+zx)=1

xy+yz+zx=-1

可见,x,y,z不全是正数,也不全是负数。

x+y+z=1是一个平面,x²+y²+z²=3是一个球面,球心在原点(0,0,0),半径R=√3。

平面的法向矢量(1,1,1),cosα=cosβ=cosγ=1√(1²+1²+1²)=1/√3.

xOy平面与x+y+z=1平面的夹角=γ,sinγ=√(1-cos²γ)=√(1-1/3)=√(2/3)

两者的交集是一个圆。圆心在从O垂直于x+y+z=1平面的垂足OP,设OP=a,则P的坐标为(a/√3,a/√3,a/√3),满足平面方程:

a/√3+a/√3+a/√3=1,3a/√3=1,a=1/√3,P(1/3,1/3,1/3).

该圆的半径r=√(R²-a²)=√(3-1/3)=√(8/3)=2√(2/3)

将这个圆表示成一个参数方程。

该圆与xOy平面的交线是x+y=1,z=0,与x、y轴夹45°角;过P做该交线的平行线,x+y=1/3+1/3=2/3,z=1/3,是该圆的一条水平直径。以该直径与x轴正方向夹角小于90°的一段为正方向,以顺时针方向为正(逆该圆的法向看),一条半径与正向夹角ω。在该圆所在平面内,圆上该半径向上述正向的投影m=rcosω=√(8/3)cosω,垂直于正向的投影为n=rsinω=√(8/3)sinω,该半径的端点(圆上的一点),坐标z=Pz+nsinγ=1/3+√(8/3)sinω(√(2/√3)=1/3+(4/3)sinω

n在水平面内的投影l的长度=rsinωcosγ=√(8/3)sinω/√3=(√8/3)sinω

x=Px+mcos45°-lsin45°=1/3+√(8/3)cosω/√2-(√8/3)sinω/√2

=1/3+(2/√3)cosω-(2/3)sinω

y=Py-mcos45°-lsin45°=1/3-(2/√3)cosω-(2/3)sinω

k=xyz=[1/3+(2/√3)cosω-(2/3)sinω][1/3-(2/√3)cosω-(2/3)sinω][1/3+(4/3)sinω]

={[(1/3-(2/3)sinω]²-(4/3)cos²ω}[1/3+(4/3)sinω]

={[1/9-(4/9)sinω+(4/9)sin²ω]-(4/3)cos²ω}[1/3+(4/3)sinω]

=[1/9-(4/9)sinω+(4/9)sin²ω-(4/3)(1-sin²ω)][1/3+(4/3)sinω]

=[-(4/9)sinω+(16/9)sin²ω-(11/9)][1/3+(4/3)sinω]

=(1/27)(16sin²ω-4sinω-11)(1+4sinω)

=(1/27)(64sin³ω-48sinω-11)

设t=sinω

k=xyz=(1/27)(64t³-48t-11)

k'=(1/27)(192t²-48)

=(16/9)(4t²-1)

k'=0,4t²-1=0,t=±1/2

t=-1/2,有极大值kmax=(1/27)(64/8+48/2-11)=(1/27)(8+24-11)=21/27

=7/9

t=1/2,有极小值kmin=(1/27)(64/8-48/2-11)=(1/27)(8-24-11)=-27/27

=-1




茹翊神谕者

2022-12-19 · TA获得超过2.5万个赞
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简单分析一下,答案如图所示

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