Question

已知：等边三角形ABC边长为6，P为BC边上一点，角MPN=60度，PM、PN分别与边AB、AC交于点E、F，且PM垂直于AB

如图，当点P为BC的三等分点时，判断三角形EPF的形状，并证明
....

Answer 1

：（1）∵点P为BC的三等分点，
∴BP= BC=4，PC= BC=2，
在直角△BPE中，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE= BP=2，
∴BE=CP，
又∵∠MPN=60°，
∴△EPF是等边三角形；

（2）△ABC的面积是： ×6×6× =9 ；
BP=x，则BE= BP= x．EP= BE= x，PC=6-x，PF= PC= （6-x）．
则△BPE的面积是： BE•EP= × • x= x2，
△PCF的面积是： PC•PF= （6-x）• （6-x）= （6-x）2．
∴四边形AEPF面积的y=9 - x2- （6-x）；
即y=- x2+6 x-9 （3＜x＜6）；
（3）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴ = ，
设BP=x，则CP=6-x．
∴ = ，
解得：x=2或4．
当x=2时，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=2，
则PE=2 ；
当x=4时，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=4，
则△BEP是等边三角形，∴PE=4．
故PE=2 或4

Answer 2

.

Answer 3

解：猜测：△EPF是等边三角形
∵点P为BC的三等分点，
∴BP= 2/3BC=4，PC=1/3 BC=2，
在直角△BPE中，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=1/2 BP=2，
由勾股定理得
PE=2√3
同理得
PF=2√3
∴PE=PF
又∵∠MPN=60°，
∴△EPF是等边三角形

Answer 4

解：（1）∵点P为BC的三等分点，
∴BP= 2/3BC=4，PC=1/3 BC=2，
在直角△BPE中，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=1/2 BP=2，
∴BE=CP，
又∵∠MPN=60°，
∴△EPF是等边三角形；

Answer 5

解：（1）设BP=x，则CP=6-x．
∵PE⊥AB，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=x2，PE=32x，
∴S△BEP=12BE•PE=12×x2×32x=38x2，
同理，在Rt△CFP中，PF=3（6-x）
∴S△CFP=12PC•PF=12（6-x）×3（6-x）=32（6-x）2，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴S△ABC=12×6×33=93，
设四边形AEPF的面积为y．
∴y=93-38x2-32（6-x）2=-5
38x2+63x-93；
∵当x=3时，四边形AEPF不存在，
∴自变量x的取值范围为3＜x＜6；

（2）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴BPCF=BECP，
设BP=x，则CP=6-x．
∴x2=46-x，
解得：x=2或4．
当x=2时，在△BEP中，
∵∠B=60°，BE=4，BP=2，
∴PE=23；
当x=4时，在三角形△BEP中，
∵∠B=60°，BE=4，BP=4，
∴△BEP是等边三角形，
∴PE=4．
∴PE的长为4或2
3．