Question

已知函数f（x）=3x^2-2lnx 若f（x）<t^3-3t^2-m对于任意的x∈[2,4]及t∈[-1,4]恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

m<t^3-3t^2-f(x)=t^3-3t^2-3x^2+2lnx
f(t, x)=t^3-3t^2-3x^2+2lnx
f't=3t^2-6t=3t(t-2)=0, 得极值点t=0, 2
f(0,x)=-3x^2+2lnx为极大值，
f(2,x)=-4-3x^2+2lnx为极小值
而f(-1,x)=2-3x^2+2lnx
f(4,x)=16-3x^2+2lnx
在t∈[[-1,4]区间， 因此最大值为(4,x)=16-3x^2+2lnx,最小值为f(2,x)=-4-3x^2+2lnx
f'x=-6x+2/x=2/x *(1-3x^2)<0，关于x在区间单调减
因此在x区间，最大值为：f(4,2)=4+2ln2
最小值为：f(2,4)=-52+4ln2
因此有m<-52+4ln2.