Question

设函数f（x）=ln（1+x）- ax x+1 （a∈R）．？

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=
1
1+x -
a
(1+x ) 2 =
x+1-a
(1+x ) 2 ，
①当a≤0时，恒有x+1-a＞0，恒有f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0得x=a-1，
当x∈（-1，a-1）时，f′（x）＜0，当x∈（a-1，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）在（-1，a-1）上单调递减，在（a-1，+∞）上单调递增，
故当x=a-1时f（x）取得极小值，无极大值，极小值为f（a-1）=lna+1-a．
（2）当0＜a≤1时，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0，所以满足题意；
当a＞1时，由（1）可知应有f（a-1）=lna+1-a≥0（*）成立，
令g（a）=lna+1-a，则g′（a）=
1
a -1=
1-a
a ，g′（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上单调递减，
所以g（a）＜0，即f（a-1）=g（a）＜0，与（*）不符，
所以a的取值范围是0＜a≤1．
（3）由（2）可知，ln（1+x）≥
x
x+1 ，
所以lnx=ln（
2
1 ×
3
2 ×…×
x
x-1 ）=ln2+ln
3
2 +…+ln
x
x-1 =ln（1+1）+ln（1+
1
2 ）+…+ln（1+
1
x-1 ）
＞
1
2 +

1
2
1+
1
2 +…+

1
x-1
1+
1
x-1 =
1
2 +
1
3 +
1
4 +…+
1
x ．,6, 设函数f（x）=ln（1+x）- ax x+1 （a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a＞0时，若对任意的x≥0，恒有f （x）≥0，求实数a的取值范围；
（3）设x∈N且x＞2，试证明：lnx＞ 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 x ．