Question

在三角形ABC中已知tanA/tanB=a²/b²，判断三角形形状。用两种方法(写出过程)

Answer 1

正弦定理：a/sinA=b/sinB=2R（R为外接圆半径）
a=2RsinA,b=2RsinB
tanA/tanB=a²/b²
sinAcosB/(cosAsinB)=sin²A/sin²B
cosB/cosA=sinA/sinB
2sinBcosB=2sinAcosA
sin2A-sin2B=0
因为A,B是三角形内角
所以2A=2B或2A+2B=180即A+B=90
即A=B或A+B=90度
所以三角形为直角三角形或等腰三角形

tanA=sinA/cosA, tanB=sinB/cosB,
所以sinA/cosA/（sinB/cosB）=a²/b²
因为sinA=a/2R,sinB=b/2R,cosA=（b²+c²-a²） /2bc cosB=（a²+c²-b²） /2ac
所以代入化简得（a²+c²-b²）/(b²+c²-a²）=a²/b²
(b²+c²-a²)a²=b²（a²+c²-b²）
a²b²+a²c²-a^4=a²b²+b²c²-b^4
c²(a²-b²)=a^4-b^4
c²(a²-b²)=(a²-b²)(a²+b²)
(a²-b²)(a²+b²-c²)=0
则a²-b²=0或a²+b²=c²
即a=b或a²+b²=c²
因此三角形是等腰三角形或直角三角形